С названием «Монастырь Баграти» в Грузии чаще всего связывают храм Баграта в Кутаиси, а не объект рядом с Батуми. Для достопримечательности с таким названием именно в окрестностях Батуми у меня нет надёжно подтверждённых данных, поэтому лучше ориентироваться на контекст маршрута и местное написание названия.
Если в программе поездки указан небольшой монастырский объект в Аджарии, путешественника обычно ждут каменная церковь, тихий двор, вид на холмы или море и короткая остановка по пути между городом и пригородами. В таких местах едут не за музейным масштабом, а за спокойной паузой в дороге, архитектурными деталями и возможностью увидеть, как религиозная жизнь встроена в повседневный пейзаж западной Грузии. Перед поездкой стоит уточнить у принимающей стороны точное грузинское название, адрес и режим посещения: для небольших монастырей это особенно важно. Одежда нужна сдержанная, а на территории лучше рассчитывать на спокойный, уважительный формат визита без долгой экскурсионной инфраструктуры.